Question

已知等邊△ABC和Rt△DEF按如圖所示的位置放置，點(diǎn)B，D重合，且點(diǎn)E、B（D）、C在同一條直線上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=，現(xiàn)將△DEF沿直線BC以每秒個(gè)單位向右平移，直至E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）試求出在平移過程中，點(diǎn)F落在△ABC的邊上時(shí)的t值；
（2）試求出在平移過程中△ABC和Rt△DEF重疊部分的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)D與C重合時(shí)，點(diǎn)H為直線DF上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△DBH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACK，則是否存在點(diǎn)H使得△BHK的面積為？若存在，試求出CH的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)F在邊AB上時(shí)，如圖（1），作AM⊥BC，則AM=AB=×6=9，
∵AM⊥BC，∠FEB=90°
∴EF∥AM，
∴△BEF∽△BMA，
∴=，即=，解得：BE=2，則移動(dòng)的距離是：6+2=8，則t==8；
當(dāng)F在AC上時(shí)，如圖（2）同理可得：EC=2，則移動(dòng)的距離是：2×6-2=12-2=10，則t==10，
故t的值是：8或10；





（2）當(dāng)0＜t≤6時(shí)，重合部分是三角形，如圖（3），設(shè)AB與BE交于點(diǎn)N，
則BD=t，
則NB=BD=t，ND=BD=×t=t，則s=NB•ND=×t×t=t²；
當(dāng)6＜t≤8時(shí)，重合部分是：△EFD在△ABC左邊的部分的面積是：（6-t）² sin30°•cos30°
=（6-t）²，
右邊的部分的面積是：t-9，
則S=18-（6-t）²-t+9=-t²+t++9，
當(dāng)8＜t＜10時(shí)，如圖（4），則CD=t-6，
∵∠TCB=60°，∠D=30°
∴∠DTC=30°，
∴∠D=∠DTC，
∴TC=CD=t-6，
則在直角△THC中，TH=TC=（t-6）=t-9，
則s=18-CD•TH=18-（t-6）（t-9）=-（t-6）²+18；
當(dāng)10≤t＜12時(shí)，重合部分如圖（5），
EC=12-t，
則直角△ECJ中，EJ=EC=（12-t），
則s=EC•EJ=×（12-t）²=（12-t）²．

（3）當(dāng)B，H，K在一條直線上時(shí)，CH=CK=BC•tan30°=6×=6，
設(shè)CH=x，作HL⊥BC于點(diǎn)L，則HL=x，
△CKH是邊長(zhǎng)是x的等邊三角形，則面積是x²，
△BCH的面積是：BC•HL=3×x=x，
△BCK的面積是：3x．
當(dāng)0＜CH＜6時(shí)，△BHK的面積=△BCK的面積-△CKH的面積-△BCH的面積，即3x-x-x²=4，方程無解．
當(dāng)CH＞6時(shí)，△BHK的面積=△CKH的面積+△BCH的面積-△BCK的面積，即x²+x-3x=4，解得：x=8或-2（舍去），故x=8
總之，CH=8．
分析：（1）分當(dāng)F在邊AB上時(shí)和在AC邊上時(shí)，兩種情況進(jìn)行討論，分別利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求得移動(dòng)的距離，即可求得時(shí)間；
（2）根據(jù)（1）得到的時(shí)間，即可根據(jù)t的范圍分情況進(jìn)行討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，以及三角形的面積公式即可得到函數(shù)解析式；
（3）首先求得當(dāng)B，H，K在一條直線上時(shí)CK的長(zhǎng)度，然后利用：△BHK的面積、△BCK的面積、△XKH的面積、△BCH的面積之間的關(guān)系，即可得到一個(gè)關(guān)于CK的長(zhǎng)度的方程，解得CK的長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確對(duì)t的情況進(jìn)行分類是關(guān)鍵．