Question

如圖，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上有一動點P．過P作PH⊥OA于H，設(shè)I為△OPH的內(nèi)心，
（1）求∠PIO的度數(shù)；
（2）連結(jié)AI、AP，請你猜想△API是什么樣的特殊三角形，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)點P從點A運動到點B時，請你畫出內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑l，并直接寫出l的長度．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：（1）根據(jù)I是三角形的角平分線的交點，和三角形的內(nèi)角和定理求解；
（2）連接AI，證明△OPI≌△OAI即可證得；
（3）如圖，連OI，PI，AI，由△OPH的內(nèi)心為I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-

1

2

（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易證△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以點I在以O(shè)A為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過A、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′A，O′O，在優(yōu)弧AO取點P，連PA，PO，可得∠APO=180°-135°=45°，得∠AOO=90°，O′O=

2

2

OA=

2

2

×2=

2

，然后利用弧長公式計算弧OA的長．

解答：解：（1）∵I是△OPH的內(nèi)心，則PI和OI是∠HPO和∠POH的角平分線，
∴∠OPI+∠POI=

1

2

（∠HPO+∠POH）=

1

2

×90°=45°，
∴∠PIO-180°-45°=135°；
（2）連接AI（如圖1）．
在△OPI和△OAI中，

OP=OA ∠POI=∠AOI OI=OI

，
∴△OPI≌△OAI，
∴AI=PI，即△API是等腰三角形；
（3）如圖，連OA'、OI，PI（如圖2），
∵△OPH的內(nèi)心為I，
∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-

1

2

（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OA，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°-

1

2

（∠HOP+∠OPH）=180°-

1

2

（180°-90°）=135°，
又∵OP=OA，OI公共，
而∠IOP=∠IOA，
∴△OPI≌△OAI，
∴∠AIO=∠PIO=135°，
所以點I在以O(shè)A為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；
過A、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′A，O′O，
在優(yōu)弧AO取點P，連PA，PO，
∵∠AIO=135°，
∴∠APO=180°-135°=45°，
∴∠AOO=90°，而OA=2cm，
∴O′O=

2

2

OA=

2

2

×2=

2

，
∴弧OA的長=

90π 2

180

=

2 π

2

（cm），
所以內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑弧OA長為

2 π

2

cm．

點評：本題考查了弧長的計算公式：l=

nπR

180

，其中l(wèi)表示弧長，n表示弧所對的圓心角的度數(shù)．同時考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．