Question

6．觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：
①2$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；②3$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$•；  ③4$\sqrt{\frac{4}{15}}$=$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$； …
第①、②的驗(yàn)證：2$\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2^3}{3}}=\sqrt{\frac{{{2^3}-2+2}}{3}}=\sqrt{\frac{{2（{2^2}-1）+2}}{3}}=\sqrt{\frac{{2（{2^2}-1）+2}}{{{2^2}-1}}}=\sqrt{2+\frac{2}{{{2^2}-1}}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；3$\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^3}{8}}=\sqrt{\frac{{{3^3}-3+3}}{8}}=\sqrt{\frac{{3（{3^2}-1）+3}}{8}}=\sqrt{\frac{{3（{3^2}-1）+3}}{{{3^2}-1}}}=\sqrt{3+\frac{3}{{{3^2}-1}}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$•
（1）根據(jù)上面的結(jié)論和驗(yàn)證過程，猜想5$\sqrt{\frac{5}{24}}$的結(jié)果并寫出驗(yàn)證過程；
（2）根據(jù)對(duì)上述各式規(guī)律，直接寫出第n個(gè)等式（不要驗(yàn)證）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中二次根式的化簡(jiǎn)即可得出答案．
（2）利用（1）中計(jì)算結(jié)果，即可得出二次根式的變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案即可．

解答 解：（1）5$\sqrt{\frac{5}{24}}$=$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$．
5$\sqrt{\frac{5}{24}}$
=$\sqrt{\frac{{5}^{3}}{24}}$，
=$\sqrt{\frac{{5}^{3}-5+5}{24}}$，
=$\sqrt{\frac{5{（5}^{2}-1）+5}{{5}^{2}-1}}$，
=$\sqrt{5+\frac{5}{{5}^{2}-1}}$，
=$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$；

（2）n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$=$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$（n為正整數(shù)，n≥2）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出根式內(nèi)外變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．