Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(10，0)．

(1)如圖①，若直線AB∥OC，AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為________時(shí)，有PO＝PC；

(2)如圖②，若直線AB與OC不平行，在過點(diǎn)A的直線y＝－x＋4上是否存在點(diǎn)P，使∠OPC＝90°，若有這樣的點(diǎn)P，求出它的坐標(biāo)．若沒有，請簡要說明理由；

(3)若點(diǎn)P在直線y＝kx＋4上移動(dòng)時(shí)，只存在一個(gè)點(diǎn)P使∠OPC＝90°，試求出此時(shí)y＝kx＋4中k的值是多少？

Answer 1

答案：
解析：

(1)(5，4) 　　(2)設(shè)P(x，－x＋4) 　　連接OP、PC，過P作PE⊥OC于E，過P點(diǎn)作PN⊥OA于N 　　因?yàn)镺P2＝x2＋(－x＋4)2 　　PC2＝(－x＋4)2＋(10－x)2 　　OP2＋PC2＝OC2 　　所以x2＋(－x＋4)2＋(－x＋4)2＋(10－x)2＝102 　　x2－9x＋8＝0 　　x1＝1，x2＝8 　　所以P坐標(biāo)(1，3)或(8，－4)． 　　(3) 　　作以O(shè)C為直徑的⊙F，當(dāng)過A的直線y＝kx＋4切⊙F于點(diǎn)P時(shí)，直線y＝kx＋4與x軸交于點(diǎn)M，此時(shí)只有一個(gè)點(diǎn)P． 　　易知：△MAO∽△MFP 　　由MO∶MP＝OA∶FP， 　　設(shè)MO＝a，由PF＝5，OA＝4 　　得MP＝a 　　在Rt△MPF中，由MP2＋PF2＝MF2得(a)2＋52＝(a＋5)2 　　得a1＝0(不合題意，舍去)，a2＝ 　　因?yàn)閥＝kx＋4與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 　　 　　又當(dāng)直線y＝kx＋4過點(diǎn)C(10，0)時(shí)，過原點(diǎn)O有惟一的一條直線與此直線垂直 　　此時(shí)k＝