Question

如圖，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°，以邊AC上的點O為圓心、OA為半徑的⊙O
與EC相切，D為切點，AD∥BC。
（1）用尺規(guī)確定并標(biāo)出圓心O；（不寫做法和證明，保留作圖痕跡）
（2）求證：∠E=∠ACB；
（3）若AD=1， tan∠DAC=，求BC的長。

Answer 1

解：（1）提示：O即為AD中垂線與AC的交點或過D點作EC的垂線與AC的交點等；
（2）證明:連結(jié)OD， ∵AD∥BC，∠B=90°， ∴∠EAD=90°， ∴∠E+∠EDA=90°， 即∠E=90°-∠EDA， 又圓O與EC相切于D點， ∴OD⊥EC， ∴∠EDA+∠ODA=90°， 即∠ODA=90°-∠EDA， ∴∠E=∠ODA， 又OD=OA， ∴∠DAC=∠ODA， ∴∠DAC=∠E， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴∠E=∠ACB；
（3）Rt△DEA中，tan∠E=， 又tan∠E=tan∠DAC=， ∵AD=1 ∴EA=， Rt△ABC中，tan∠ACB=， 又∠DAC=∠ACB， ∴tan∠ACB=tan∠DAC， ∴， ∴可設(shè)， ∵AD∥BC， ∴Rt△EAD∽Rt△EBC， ∴， 即，  ∴x=1， ∴。