Question

（2013•黃石模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙P與y軸相切于點C，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的兩個根，且x₁＜x₂，連接BC，AC．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QAC的周長最小？若存在求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）點M在第一象限的拋物線上，當(dāng)△MBC的面積最大時，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）連接PC，則PC⊥y軸，過點P作PE⊥AB于點E，分別求出A、B、C三點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）利用軸對稱求最短路徑的知識，可得連接BC，BC與對稱軸的交點即是點Q的位置，求出點Q的坐標(biāo)即可；
（3）經(jīng)過點M且與BC平行的直線，當(dāng)這條直線與拋物線相切時，點M到BC的距離最大，即此時△MBC的面積最大，求出點M的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）連接PC，
∵⊙P與y軸相切于點C
∴PC⊥y軸，
過點P作PE⊥AB于點E，

x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的兩個根，
解得：x₁=2，x₂=8，
即點A的坐標(biāo)為（2，0），點B的坐標(biāo)為（8，0），
∵PE⊥AB，
∴AE=BE，
∴AE=3，BE=3，
∴OE=5，PC=PA=5，
在Rt△APE中，PE=

PA2-AE2

=4，
故可得點C的坐標(biāo)為（0，-4），
過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8），
將點C（0，-4）代入可得：-4=a（0-2）（0-8），
解得：a=-

1

4

，
故拋物線解析式為y=-

1

4

（x-2）（x-8）=-

1

4

x²+

5

2

x-4．

（2）存在．
連接BC，則BC與對稱軸交點即是點Q的位置，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將點B、C的坐標(biāo)代入可得：

8k+b=0 b=-4

，
解得：

k= 1 2 b=-4

，
故直線BC的解析式為y=

1

2

x-4，
拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

=5，
將x=5代入直線BC解析式可得：y=-

3

2

，
故點Q的坐標(biāo)為（5，-

3

2

）．

（3）設(shè)平行BC且經(jīng)過點M的直線解析式為y=

1

2

x+m，
聯(lián)立直線與拋物線可得：

1

2

x+m=-

1

4

x²+

5

2

x-4，即-

1

4

x²+2x-4-m=0，
△=4-4×（-

1

4

）×（-4-m）=0，
解得：m=0，
則-

1

4

x²+2x-4-m=0，可化為：-

1

4

x²+2x-4=0，
解得：x=4，
將x=4代入直線解析式可得：y=2，
故點Q的坐標(biāo)為（4，2）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一元二次方程的解、垂徑定理及三角形的面積，考察的知識點較多，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學(xué)知識融會貫通．