Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC中點(diǎn)，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于F．
（1）求證：△ACD≌△CBF；
（2）求證：AB垂直平分DF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠ACB=90°，求證∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求證∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可證明△ACD≌△CBF．
（2）先根據(jù)ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求證即可．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CE⊥AD，
∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，
∴∠FBA=∠CAB=45°
∴∠ACB=∠CBF=90°，
在△ACD與△CBF中，
∵

∠CAD=∠BCF AC=BC ∠ACB=∠CBF

，
∴△ACD≌△CBF；

（2）證明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
在△ACD與△CBF中，
∵

∠BCE=∠CAE AC=CB ∠ACD=∠CBF

，
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF．
∵CD=BD=

1

2

BC，
∴BF=BD．
∴△BFD為等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線．
∴BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，
即AB垂直平分DF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形全等的判定和角平分線的定義以及線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．要注意的是：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．