Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知直線AB：y=-x+3分別與x軸、y軸分別交于點A、點B．動點P、Q分別從O、A同時出發(fā)，其中點P以每秒1個點位長度的速度沿OA方向向A點勻速運動，到達A點后立即以原速度沿AO返向；點Q以每秒1個單位長度的速度從A點出發(fā)，沿A-B-O方向向O點勻速運動．當點Q到達點O時，P、Q兩點同時停止運動．設運動時間為t（秒）．
（1）求點A與點B的坐標；
（2）如圖1，在某一時刻將△APQ沿PQ翻折，使點A恰好落在AB邊的點C處，求此時△APQ的面積；
（3）若D為y軸上一點，在點P從O向A運動的過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形PQBD為等腰梯形？若存在，求出t的值與D點坐標；若不存在，請說明理由；
（4）如圖2，在P、Q兩點運動過程中，線段PQ的垂直平分線EF交PQ于點E，交折線QB-BO-OP于點F．問：是否存在某一時刻t，使EF恰好經過原點O？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=-x+3=0，解得x=4，
∴點A的坐標為（4，0）；
令x=0，得y=-×0+3=3，
∴點B的坐標為：（0，3）；

（2）由題意知，此時△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
此時△AQP∽△AOB，AQ=t，AP=4-t
∴
即：
解得：AQ=t=，QP=，
∴S_△APQ=AQ•PQ=××=；

（3）存在，有以下兩種情況
①若PE∥BQ，則等腰梯形PQBE中PQ=BE
過E、P分分別作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
則有BM=QN，由PE∥BQ，
得 ，
∴BM=（3-t）；
又∵AP=4-t，
∴AN=（4-t），
∴QN=（4-t）-t，
由BM=QN，得（3-t）=（4-t）-t
∴t=，
∴E（0，）；
②若PQ∥BE，則等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P點
由題意知AP=AQ=t
∵OP+AP=OA，
∴t+t=4
∴t=，
∴OE=，
∴點E（0，-）
由①②得E點坐標為（0，）或（0，-）．

（4）連接OQ，并過點Q作QG⊥y軸y于G．
①當P由O向A運動時，OQ=OP=AQ=t．
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t
∴BQ=AQ=AB
∴t=
當點Q由點B向點O勻速運動，即5＜t＜8時，△OPQ始終是等腰直角三角形，那么線段PQ的垂直平分線EF必定都經過原點O，所以5＜t＜8時也符合條件．
綜上①、②、③所述，所有符合條件的t的值是t=5≤t＜8；
②連接OQ，并過點Q作QG⊥y軸y于G．
當P由A向O運動時，OQ=OP=8-t
BQ=5-t，QG=（5-t），OG=3-（5-t）
在Rt△OGQ中，OQ²=QG²+OG²
即（8-t）²=[（5-t）]2+[3-（5-t）]²
∴t=5
分析：（1）分別求得直線AB與坐標軸的交點坐標即可求得A點與B點的坐標；
（2）當將△APQ沿PQ翻折，使點A恰好落在AB邊的點C處時，∠AQP=90°，然后利用相似三角形求得線段AQ和線段PQ的長即可求得三角形APQ的面積；
（3）①若PD∥BQ，則梯形PQBD是等腰梯形．過D、P分分別作DM⊥AB于M，PN⊥AB于N．構造矩形PNMD．則有BM=QN，由PD∥BQ，得=，從而求得MB的值；在直角三角形APN中根據AP求得QN的值，然后由BM=QN，求得t，所以點E的坐標就迎刃而解了；
②若PQ∥BD，則等腰梯形PQBD中BQ=EP且PQ⊥OA于P點．由OP+AP=OA求得t值；
（4）①當P由O向A運動時，OQ=OP=AQ=t．再有邊角關系求得BQ=AQ=AD，解得t值；②②當P由A向O運動時，OQ=OP=8-t．在Rt△OGQ中，利用勾股定理得OQ²=QG²+OG²，列出關于t的方程，解方程即可．
點評：本題主要考查了一次函數的應用，相似三角形的性質以及二次函數等知識點的綜合應用，弄清相關線段的大小和比例關系是解題的關鍵．