Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：AD⊥CF；
（2）連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求證AD⊥CF，先證明∠CAG+∠ACG=90°，需證明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易證．
（2）要判斷△ACF的形狀，看其邊有無關系．根據（1）的推導，易證CF=AF，從而判斷其形狀．
解答：（1）證明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．（2分）
又∵D為BC的中點，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF=∠CAD．（4分）
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．（6分）

（2）△ACF是等腰三角形，理由為：
連接AF，如圖所示，
由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分線，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，（8分）
∵CF=AD，
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形．（10分）
點評：此題難度中等，考查全等三角形的判定和性質及等腰三角形性質和判定．