Question

【題目】在平行四邊形中，，，點(diǎn)、分別為、的兩點(diǎn)．

（1）如圖1，若，且，連接、，判斷和的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2，，求證：；

（3）如圖3，若，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為平行四邊形對角線的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合、、、的長度，即可證出，利用全等三角形的性質(zhì)可得出、，再通過角的計算即可找出，即；

（2）在上取點(diǎn)，使，連接，則為等邊三角形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角的計算可找出、，進(jìn)而可證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，等量替換后可得出；

（3）連接、、，設(shè)交于點(diǎn)，利用面積法及勾股定理可求出的長度，易知為中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得出的長度及，進(jìn)而可得出，利用相似三角形的性質(zhì)可得出，結(jié)合的長度即可求出的長度．

（1），．理由如下：

四邊形為平行四邊形，，

．

，，，

．

在和中，，

，

，．

，

，

，即．

（2）證明：如圖2，在上取點(diǎn)，使，連接，則為等邊三角形，

，

．

四邊形為平行四邊形，，

，

．

，，

，

，

，

，即．

（3）解：連接、、，設(shè)交于點(diǎn)，如圖3所示，則為線段的垂直平分線．

，

平行四邊形為矩形，

，，，

．

點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

，且，

，

，

．