Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是梯形，OA∥BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)C在y軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)M在OA上運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)N在AB上運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都是每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）。
（1）求線段AB的長；當(dāng)t為何值時(shí)，MN∥OC？
（2）設(shè)△CMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（3）連接AC，那么是否存在這樣的t，使MN與AC互相垂直？若存在，求出這時(shí)的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，則四邊形CODB是矩形， BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3， 在Rt△ABD中，， 當(dāng)MN∥OC時(shí)，MN∥BD， ∴△AMN∽△ADB，， ∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3， ∴，即t=（秒）； （2）過點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E，交CB的延長線于點(diǎn)F， ∵NE∥BD， ∴△AEN∽△ADB，， 即 ∵EF=CO=4， ∴FN=4-， ∵， ∴ ， 即（0≤t≤5）， 由，得， ∴當(dāng)t=4時(shí)，S有最小值，且S最小=；  （3）設(shè)存在點(diǎn)P使MN⊥AC于點(diǎn)P， 由（2）得AE=，NE=， ∴ME=AM-AE=， ∵∠MPA=90°， ∴∠PMA+∠PAM=90°， ∵∠PAM+∠OCA=90°， ∴∠PMA=∠OCA， ∴△NME∽△ACO ∴NE：OA=ME：OC ∴  解得t= ∴存在這樣的t，且t=。