Question

已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分別以AB、AC為邊，向形外作等邊△ABD和等邊△ACE．
（1）如圖1，連接線段BE、CD．求證：BE=CD；
（2）如圖2，連接DE交AB于點F．求證：F為DE中點．

Answer 1

證明：（1）∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；




（2）如圖，作DG∥AE，交AB于點G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD為等邊三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，

∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB

，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
又∵△AEC為等邊三角形，∴AE=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，

∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA

，
∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF，即F為DE中點．