Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（0＜2a＜b）的頂點(diǎn)為P（x₀，y₀），點(diǎn)A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（－1，y_C）在該拋物線上．
（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=4，c=10時(shí)，①求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；②求-的值；
（Ⅱ）當(dāng)y₀≥0恒成立時(shí)，求的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此時(shí)拋物線的解析式為y=x²+4x+10。
①∵y=x²+4x+10=（x+2）²+6，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（－2，6）。
②∵點(diǎn)A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（－1，y_C）在拋物線y=x²+4x+10上，
∴y_A=15，y_B=10，y_C=7。∴。
（Ⅱ）由0＜2a＜b，得。
由題意，如圖過點(diǎn)A作AA₁⊥x軸于點(diǎn)A₁，

則AA₁=y_A，OA₁=1。
連接BC，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，
則BD=y_B－y_C，CD=1。
過點(diǎn)A作AF∥BC，交拋物線于點(diǎn)E（x₁，y_E），交x軸于點(diǎn)F（x₂，0）。
則∠FAA₁=∠CBD�！郣t△AFA₁∽Rt△BCD。
∴，即。
過點(diǎn)E作EG⊥AA₁于點(diǎn)G，易得△AEG∽△BCD。
∴，即。
∵點(diǎn)A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（－1，y_C）、E（x₁，y_E）在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴y_A=a+b+c，y_B=c，y_C=a－b+c，y_E=ax₁²+bx₁+c，
∴，化簡，得x₁²＋x₁－2=0，
解得x₁=－2（x₁=1舍去）。
∵y₀≥0恒成立，根據(jù)題意，有x₂≤x₁＜－1。
則1－x₂≥1－x₁，即1－x₂≥3。
∴的最小值為3。

解析