Question

5．（1）如圖（1），在△BAC和△DAE中，BA=AD，CA=EA，∠BAC+∠DAE=180°，求證：△BAC和△DAE的面積相等．
（2）如圖（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD，BE分別平分∠CAB，∠CBA，且AD，BE交于點(diǎn)F，求證：四邊形ABDE的面積是△AFB面積的2倍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠PAE=∠QAC，推出△APE≌△AQC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PE=CQ，即可得到結(jié)論；
（2）在AB上截取AI=AE，BG=BD，連接IF、FG，過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GN⊥IF于點(diǎn)N，易證△AFE≌△AFI，△BFD≌△BFG，根據(jù)三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可求得∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=135°，然后求出∠AFE、∠AFI、∠IFG的度數(shù)，然后根據(jù)正弦定理求出△EFD和△IFG的面積，最后即可求出四邊形ABDE的面積．

解答 證明：（1）∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC+∠QAC=180°，
∴∠PAE=∠QAC，
在△APE與△AQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠Q}\\{∠PAE=∠QAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△AQC，
∴PE=CQ，
∵BA=AD，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}•AB•CQ$，S_△ADE=$\frac{1}{2}•$AD•PE，
∴△BAC和△DAE的面積相等；

（2）解：如圖（2）在AB上截取AI=AE，BG=BD，連接IF、FG，過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GN⊥IF于點(diǎn)N，
在△AFE和△AIF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAF=∠IAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AIF（SAS），
同理可得：△BFD≌△BFG，
∵點(diǎn)F是角平分線AD、BE的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)F是△ABC的內(nèi)心，
∴∠AFB=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=135°，
∴∠AFE=∠BFD=180°-∠AFB=45°，
∴∠AFI=∠AFE=∠BFD=∠BFG=45°，
∴∠IFG=135°-45°-45°=45°，
∴S_△EFD=$\frac{1}{2}$FD•EM=$\frac{1}{2}$EF•FDsin45°，
S_△IFG=$\frac{1}{2}$FF•GN=$\frac{1}{2}$IF•FGsin45°，
∴S_△EFD=S_△IFG，
∴S_{四邊形ABDE}=S_△EFD+S_△AFE+S_△AFB+S_△BFD
=S_△IFG+S_△AIF+S_△FIG+S_△AFB
=2S_△AFB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，面積及等積變換，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，利用三角形的等積變換求出四邊形ABDE的面積，難度較大．