Question

已知：在△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CE與BD相交于F，EH⊥BC于H，EH與BD相交于G．
（1）求∠ECB的度數；
（2）求證：△AEC≌△FEB；
（3）求證：BF=2CD；
（4）探究EG與EF的大小關系，并給予證明．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=45°，CE⊥AB于D，
∴∠ECB=90°-45°=45°；

（2）∵CE⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形．
∴BE=CE．
在Rt△EFB和Rt△EAC中，
∵∠EBF=90°-∠BFE，∠ECA=90°-∠DFC，且∠BFE=∠DFC，
∴∠EBF=∠ECA．
又∵∠BEF=∠CEA=90°，BE=CE，
∴Rt△EFB≌Rt△EAC；

（3）∵Rt△EFB≌Rt△EAC，
∴BF=AC，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AC=2CD，
∴BF=2CD；

（4）∵∠EGF=∠EBG+∠BEH，∠EFG=∠ECB+∠FBC，
又∵∠ABC=∠ECB=45°，∠ABD=∠CBD，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EG=EF．
分析：（1）根據直角三角形的性質可得∠ECB的度數；
（2）利用AAS判定Rt△EFB≌Rt△EACL；
（3）利用等腰三角形三線合一的性質，結合全等三角形的性質即可證明BF=2CD；
（4）通過證明△EGF的兩底角相等可得EG與EF的大小關系．
點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．在復雜的圖形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并應用此點．