Question

16．如圖，在矩形ABCD中，點E為AB中點，連接EC，點P是點B關(guān)于直線EC的對稱點，連結(jié)AP并延長交CD于點F，給出下列結(jié)論：①AF∥EC；②PE=DF；③若△PBC是等邊三角形，則EC=AB；④若AB=30，BC=20，則AP=17．其中正確的結(jié)論有①②③．（把所有正確結(jié)論的序號都填上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°易證∠PAB+∠PBA=90°，即可解題；
②易證四邊形AECF是平行四邊形，即可解題；
③只需證明△PCE≌△PBA即可；
④易證△BEG∽△BCE，即可求得EG的長度，再根據(jù)EG是△ABP的中位線即可解題．

解答 解：如圖，EC，BP交于點G；

①∵點P是點B關(guān)于直線EC的對稱點，
∴EC垂直平分BP，
∴EP=EB，
∴∠EBP=∠EPB，
∵點E為AB中點，
∴AE=EB，
∴AE=EP，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴AP⊥BP，
∴AF∥EC；①正確；
②∵AF∥EC，AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴CF=AE，
∵AE=PE，∴PE=DF；②正確；
③∵△PBC是等邊三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC，
∴∠PBA=30°，
∵EC垂直平分BP，
∴△BCE≌△PCE，
∴∠PCE=30°，∠EPC=∠EBC=90°，
∵在△PCE和△PBA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PBA=∠PCE=30°}\\{PB=PC}\\{∠APB=∠EPC=90°}\end{array}\right.$，
∴△PCE≌△PBA，
∴EC=AB；③正確；
④∵點E為AB中點，AB=30，BC=20，
∴AE=BE=15，EC=$\sqrt{{EB}^{2}{+BC}^{2}}$=25，
∵EC垂直平分BP，
∴△BEG∽△BCE，
∴$\frac{EG}{EB}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{3}{5}$，∴EG=9；
∵EC∥AF，點E為AB中點，
∴EG是△ABP的中位線，
∴AP=2EG=18，④錯誤；
故答案為 ①②③．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，考查了相似三角形的判定和對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中找出相似三角形是解題的關(guān)鍵．