Question

15．△ABC為邊長(zhǎng)2的正三角形，以點(diǎn)A為圓心，l為半徑的圓弧與AB、AC交于E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)P是$\widehat{EF}$的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并延長(zhǎng)交線段BC于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作弧所在圓的切線，但該切線不與BC平行時(shí)，設(shè)它與直線BC交于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)K與B重合時(shí)，PM：KP的值是多少？
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在PM：KP=3的情況？若存在，請(qǐng)求出BK的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）一般地，是否存在PM：KP=n（n為正整數(shù)）的情況？試提出你的猜想（不要求證明）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當(dāng)K與B重合時(shí)，P與E重合，M與C重合，由此不難解決問題．
（2）如圖2中，作AD⊥BC于D，由△ADK∽△MPK，推出$\frac{AD}{KD}$=$\frac{PM}{PK}$=3，由此不難解決問題，注意當(dāng)AK在AD右側(cè)時(shí)，方法類似．
（3）方法類似（2）．

解答 （1）解：如圖1中，當(dāng)K與B重合時(shí)，P與E重合，M與C重合．

∴$\frac{PM}{PK}$=tan60°=$\sqrt{3}$．
∴PM：PK=$\sqrt{3}$．

（2）存在．
理由：如圖2中，作AD⊥BC于D．

∵M(jìn)P是⊙A切線，
∴∠ADK=∠MPK=90°，
∵∠AKD=∠PKM，
∴△ADK∽△MPK，
∴$\frac{AD}{KD}$=$\frac{PM}{PK}$=3，
∵△ABC是等邊三角形，AB=2，
∴AD=$\sqrt{3}$，
∴KD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BK=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
當(dāng)AK在AD右側(cè)時(shí)，BK=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，

（3）存在．
理由：由（2）可知，△ADK∽△MPK，
∴$\frac{AD}{KD}$=$\frac{PM}{PK}$=n，
∵△ABC是等邊三角形，AB=2，
∴AD=$\sqrt{3}$，
∴KD=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，
∴BK=1-$\frac{\sqrt{3}}{n}$，
當(dāng)AK在AD右側(cè)時(shí)，BK=1+$\frac{\sqrt{3}}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．