Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，CE⊥AD，E為垂足，CE的延長線交AB于點F．求證：AC²=AB·AF．

 

Answer 1

答案：
解析：

證法一：連結(jié)BD、CＤ．如圖． ∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝∠ABD＝90°． ∵CE⊥AD于E，∴Rt△ACE∽Rt△ACＤ． ∴，即AC２=AE·AＤ． 在Rt△AEF和Rt△ABD中，∵∠ABD＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠BAD， ∴△AEF∽△ABD，∴，即AE·AD＝AF·AB．  ∴AC２＝AF·AB． 證法二：如圖7—64，延長CF交⊙O于G，連結(jié)AG、BG． ∵AD是⊙O的直徑，CG⊥AD，∴=． ∴AC＝AG，∠AGE＝∠GBA． 又∠FAG＝∠FAG． ∴△AGF∽△ABG． ∴，即AG２＝AF·AB，∴AC２＝AF·AB． 證法三：如圖7—65，延長CF交⊙O于G． ∵AD是⊙O的直徑，且CG⊥AD， ∴=． ∴∠B＝∠FCA． 又 ∠BAC＝∠FAC． ∴△ACF∽△ABC． ∴，即AC２＝AF·AB．