Question

如圖，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，MN=4，MA=1，MB>1，以A 為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x。

（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面積？

Answer 1

解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3-x， ∴， 解得1<x<2； （2）①若AC為斜邊，則1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，無(wú)解； ②若AB為斜邊，則x2=（3-x）2+1，解得x=， 滿足1<x<2； ③若BC為斜邊，則（3-x）2=1+x2，解得x=，滿足1<x<2， ∴x=或x=； （3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，設(shè)CD=h，△ABC的面積為S，則S=xh， ①如圖甲所示，若點(diǎn)D在線段AB上， 則， ∴（3-x）2-h2=x2-2x+1-h2，即x=3x-4， ∴x2（1-h2）=9x2-24x+16，即x2h2=-8x2+24x-16， ∴S2=x2h2=-2x2+6x-4=-2， 當(dāng)x=時(shí)（滿足≤x<2），S2取最大值，從而S取最大值， ②如圖乙所示，若點(diǎn)D在線段MA上，則， 同理可得，S2==-2x2+6x-4=-2（x-）2+， 易知此時(shí)S<， 綜合①②得，△ABC的最大面積為。