Question

已知等腰Rt△ABC斜邊上一點(diǎn)P，求證：AP²+BP²=2CP²．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,等腰直角三角形

專題：證明題

分析：作出圖形，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD=CD，設(shè)為a，設(shè)PD=x，用a、x表示出AP、BP，然后求出AP²+BP²，再利用勾股定理表示出CP²，整理即可得證．

解答：證明：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=BD=CD，設(shè)為a，
設(shè)PD=x，則AP=a-x，BP=a+x，
所以，AP²+BP²=（a-x）²+（a+x）²=2a²+2x²，
在Rt△CDP中，CP²=CD²+PD²=a²+x²，
∵2a²+2x²=2（a²+x²），
∴AP²+BP²=2CP²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出以CP為斜邊的直角三角形是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．