Question

18．如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一折線段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=3，EF=4，F(xiàn)C=5，則正方形ABCD的外接圓的半徑是4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先連接AC，則可證得△AEM∽△CFM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得EM與FM的長，然后由勾股定理求得AM與CM的長，進(jìn)而得到AC的長，在Rt△ABC中，由AB=AC•sin45°，即可求出正方形的邊長

解答 解：連接AC，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{EM}{FM}$，
∵AE=3，EF=4，F(xiàn)C=5，
∴$\frac{EM}{FM}$=$\frac{3}{5}$，
∴EM=1.5，F(xiàn)M=2.5，
在Rt△AEM中，AM=$\sqrt{A{E}^{2}+E{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△FCM中，CM=$\sqrt{C{F}^{2}+F{M}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴AC=4$\sqrt{5}$，
∴正方形ABCD的外接圓的半徑是4$\sqrt{5}$，
故答案為：4$\sqrt{5}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．此題綜合性較強，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．