Question

實數(shù)k為何值時，方程x²+（2k-1）x+1+k²=0的兩實數(shù)根的平方和最小，并求出這兩個實數(shù)根．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,根的判別式

專題：

分析：利用一元二次方程根與系數(shù)的關系表示出兩實根的平方和，得到一個關于k的二次函數(shù)，求出取得最小值時k的值，再利用根的判別式進行驗證．

解答：解：設方程的兩根分別為x₁和x₂，由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得：x1+x2=-(2k-1)，x1x2=1+k2，
令y=

x

2 1

+x

2 2

，則y=(x1+x2)2-2x1x2=（2k-1）²-2（1+k²）=2k²-4k-1=2（k-1）²-3，
其為開口向上的二次函數(shù)，當k=1時，有最小值，
但當k=1時，一元二次方程的判別式為△=-7＜0，
所以沒有滿足△≥0的k的值，
所以該題目無解．

點評：本題主要考查地一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題時容易忽略還需要滿足一元二次方程有實數(shù)根．