Question

14．如圖，在正方形ABCD中，點P是對角線AC上一點，把△BPC繞著點B逆時針旋轉得到△BQA．
（1）若AC=2$\sqrt{2}$，求四邊形APBQ的面積；
（2）若PC比AP多2，且△PBQ的面積為5，求正方形ABCD的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質得AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=2，則可計算出S_△ABC=2，再根據(jù)旋轉的性質得S_△BQA=S_△BPC，于是可利用S_{四邊形APBQ}=S_△BQA+S_△BAP=S_△BPC+S_△BAP=S_△ABC求解；
（2）設AP=x，則PC=x+2，利用正方形的性質得∠BAC=∠ACB=45°，∠ABC=90°，AC=$\sqrt{2}$AB，再根據(jù)旋轉的性質得∠PBQ=∠ABC=90°，BP=BQ，AQ=PC=x+2，∠BAQ=∠BCA=45°，則可判斷△PBQ為等腰直角三角形，利用△PBQ的面積為5可計算出PQ=2$\sqrt{5}$，再證明∠QAP=90°，則利用勾股定理得到x²+（x+2）²=（2$\sqrt{5}$）²，解得x₁=2，x₂=-4（舍去），則AP=2，PC=4，然后利用正方形的性質可得AB的長，從而可計算出正方形的周長．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC=$\sqrt{2}$AB，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵△BPC繞著點B逆時針旋轉得到△BQA，
∴S_△BQA=S_△BPC，
∴S_{四邊形APBQ}=S_△BQA+S_△BAP=S_△BPC+S_△BAP=S_△ABC=2；
（2）設AP=x，則PC=x+2，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠ABC=90°，AC=$\sqrt{2}$AB，
∵△BPC繞著點B逆時針旋轉得到△BQA，
∴∠PBQ=∠ABC=90°，BP=BQ，AQ=PC=x+2，∠BAQ=∠BCA=45°，
∴△PBQ為等腰直角三角形，
∵△PBQ的面積為5，
∴$\frac{1}{2}$PB²=5，解得PB=$\sqrt{10}$，
∴PQ=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{5}$，
∵∠BAQ+∠BAC=45°+45°=90°，即∠QAP=90°，
∴AP²+AQ²=PQ²，即x²+（x+2）²=（2$\sqrt{5}$）²，解得x₁=2，x₂=-4（舍去），
∴AP=2，PC=4，
∴AC=6，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=3$\sqrt{2}$，
∴正方形ABCD的周長=4AB=12$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質和等腰直角三角形的判定與性質．