Question

11．已知拋物線y=x²+（m+1）x-$\frac{1}{4}$m²-1（m為實數(shù)）．
（1）若該拋物線的對稱軸在y軸的右側，求m的取值范圍；
（2）設A、B兩點分別是該拋物線與x軸、y軸的交點，且OA=OB（O是坐標原點），求m的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的對稱軸x=-$\frac{2a}$＞0，即可得出結果；
（2）求出拋物線與y軸的交點坐標，再由OA=OB，得出關于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+（m+1）x-$\frac{1}{4}$m²-1，
對稱軸x=-$\frac{2a}$=-（m+1）＞0，
∴m＜-1，
∴m＜-1；
（2）∵△=b²-4ac=（m+1）²+4×（$\frac{1}{4}$m²+1）=2m²+2m+5=2（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{2}$＞0，
∴拋物線與x軸有兩個交點，如圖所示：
交點橫坐標為x₁，₂=$\frac{-b±\sqrt{△}}{2}$，
與y軸交點為（0，-$\frac{1}{4}$m²-1），
∴OB=$\frac{1}{4}$m²+1，
∵OA=OB，
∴|x₁，₂|=$\frac{1}{4}$m²+1，
把x=$\frac{1}{4}$m²+1代入得y=0，
即（$\frac{1}{4}$m²+1）²+（m+1）-$\frac{1}{4}$m²-1，
把x=$\frac{1}{4}$m²+1代入得y=0，
即（$\frac{1}{4}$m²+1）²+（m+1）（$\frac{1}{4}$m²+1）-$\frac{1}{4}$m²-1=0，
解得：m=-2；把x=-$\frac{1}{4}$m²-1代入得y=0，
即y=（-$\frac{1}{4}$m²-1）²+（m+1）（-$\frac{1}{4}$m²-1）-$\frac{1}{4}$m²-1=0，
解得：m=2±2$\sqrt{2}$；
綜上所述：m=-2，或m=2+2$\sqrt{2}$，或m=2-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質、解方程等知識；解答此題不僅要熟悉拋物線的性質，還要注意數(shù)形結合思想的應用，以便提高解題的效率．