Question

如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2，腰長為3，一個底角為60°．正△ABC的邊長為1，它的一邊AC在MN上，且頂點A與M重合．現將正△ABC在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進行翻滾，

翻滾到有一個頂點與Q重合即停止?jié)L動．
（1）請在所給的圖中，畫出頂點A在正△ABC整個翻滾過程中所經過的路線圖；
（2）求正△ABC在整個翻滾過程中頂點A所經過的路徑長；
（3）求正△ABC在整個翻滾過程中頂點A所經過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．

Answer 1

（1）如圖所示：

（2）點A所經過的路線長：

120π×1

180

×4+

180π×1

180

=

11

3

π；

（3）如圖所示：



根據正三角形邊長為1，則高AD為：cos30°=

AD

AC

，則AD=

3

2

，
故面積為：

1

2

×1×

3

2

，
圍成的圖形的面積：3個圓心角為120°的扇形+2個正三角形的面積+一個半圓面積，
（根據要求正△ABC在整個翻滾過程中頂點A所經過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S，則最后一段弧沒有和PQ圍成閉合的圖形，故可以不求這部分面積）
所以點A所經過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S為：

1

2

×π×1²+2×

1

2

×1×

3

2

+3×

120π×12

360

=

3

2

π+

3

2

．