Question

已知二次函數(shù)y=x²-x+m的圖象經(jīng)過點A（-3，6），并與x軸交于B、C兩點（點B在C的左邊），P為它的頂點．
（1）試確定m的值；
（2）設(shè)點D為線段OC上的一點，且滿足∠DPC=∠BAC，求直線AD的解析式．

Answer 1

解：（1）把點A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得到：6=×（-3）²-（-3）+m，
解得m=-．
（2）因為y=x²-x-=（x-1）²-2，
所以頂點坐標(biāo)是p（1，-2）．
令y=0，得（x-1）²-2=0，
解得x=-1或x=3．
所以拋物線與x軸的交點坐標(biāo)是B（-1，0），C（3，0）
作AE⊥x軸于E，易知|AE|=|CE|=6，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°．
作PF⊥x軸于F，
同理得到∠PCD=45°=∠ACB又因為∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC．
∴=．
設(shè)點D的坐標(biāo)是（a，0），
那么DC=3-a，另外BC=4，PF=2，AE=6，
∴=，
解得a=
∴點D的坐標(biāo)是（，0）．
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，把點A，D的坐標(biāo)代入得到：，
解得．
∴直線AD的解析式是y=-x+．
分析：（1）把點A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可以求出m的值．
（2）二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)可以根據(jù)化簡的二次函數(shù)式求出，令y=0則代入解析式則可求出與x軸的交點B、C的坐標(biāo)，易證△AEC是等腰直角三角形，作PF⊥x軸于F，可以證明△DPC∽△BAC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，可以求出D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線AD的解析式．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的頂角坐標(biāo)的求解方法，以及利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．