Question

如圖，正方形OEFG繞著正方形ABCD的對角線的交點O旋轉，邊OE、OG分別交邊AD、AB于點M、N．
（1）求證：OM=ON；
（2）設正方形ABCD的邊長為a，求證：四邊形OMAN的面積是定值．

Answer 1

（1）證明：在正方形ABCD中，∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，
∵∠AOM+∠AON=∠EOG=90°，
∠BON+∠AON=∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∵在△AOM和△BON中，

∠MAO=∠NBO OA=OB ∠AOM=∠BON

，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴OM=ON；

（2）作OG⊥AB，OH⊥AD分別于點G，H．則OH=OG，四邊形OHAG是正方形．
∵在Rt△AOH和Rt△AOG中，

OA=OA OH=OG

，
∴Rt△AOH≌Rt△AOG（HL），
∴S_{四邊形OMAN}=S_{正方形OHAG}=

1

4

a²．