Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．點0是AC的中點，過點0的直線l從與AC重合的位置開始，繞點0作逆時針旋轉，交AB邊于點D．過點C作CE∥AB交直線l于點E，設直線l的旋轉角為α．
（1）當α=______度時，四邊形EDBC是等腰梯形； 當α=______度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為______；
（2）當α=90°時，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵CE∥AB，
∴當∠EDB=∠B=60°時，四邊形EDBC是等腰梯形時，
∵∠A=30°，
∴α=∠EDB-∠A=30°，
即當α=30°時，四邊形EDBC是等腰梯形；
∵CE∥AB，∠B=60°，
∴當∠EDB=90°時，四邊形EDBC是直角梯形，
∵∠A=30°，
∴α=∠EDB-∠A=90°-30°=60°，
∴當α=60°時，四邊形EDBC是直角梯形；
在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∴AC==2，
∵O是中點，
∴AO=，
在Rt△AOD中，OD=AO=，
∴AD==．
故答案為：30，60，；

（2）當∠α=90°時，四邊形EDBC是菱形．
∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC∥ED，
∵CE∥AB，
∴四邊形EDBC是平行四邊形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，
∴AB=4，AC=2，
∴AO=AC=．
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=AD，
AD==，
∴AD=2，
∴BD=2，
∴BD=BC．
又∵四邊形EDBC是平行四邊形，
∴四邊形EDBC是菱形．
分析：（1）根據(jù)旋轉的性質和等腰梯形的性質，由CE∥AB，可得當∠EDB=∠B=60°時，四邊形EDBC是等腰梯形時，則可求得α的度數(shù)；由CE∥AB，∠B=60°，可得當∠EDB=90°時，四邊形EDBC是直角梯形，則可求得α的度數(shù)，然后利用含30°角的直角三角形的性質與勾股定理求得AD的長．
（2）根據(jù)∠α=∠ACB=90°先證明四邊形EDBC是平行四邊形．再利用Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2求得AB，AC，AO的長度；在Rt△AOD中，∠A=30°，AD=2，可求BD，比較得BD=BC，可證明四邊形EDBC是菱形．
點評：此題考查了等腰梯形的性質、直角梯形的性質、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結合思想的應用．