Question

觀察下列圖形的變化過程，解答以下問題：
如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一動點（D點不與B、C兩點重合）．DE∥AC交AB于E點，DF∥AB交AC于F點．
（1）試探索AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形．為什么？

Answer 1

（1）當AD平分∠EAF時，四邊形AEDF為菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
∴∠EAD=∠FDA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FAD=∠FDA，
∴AF=DF，
∴四邊形AEDF為菱形；

（2）當△ABC為直角三角形，∠BAC=90°時，四邊形AEDF為正方形，
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
∴∠EAD=∠FDA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FAD=∠FDA，
∴AF=DF，
∴四邊形AEDF為菱形，
∵∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF為正方形．