Question

20．如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為E，F(xiàn)為DC延長線上一點，且∠CBF=∠CDB．
（1）求證：FB為⊙O的切線；
（2）若AB=8，CE=2，求sin∠BDC．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據(jù)圓周角定理證得∠CBD=90°，然后根據(jù)等邊對等角以及等量代換，證得∠OBF=90°即可證得；
（2）首先利用垂徑定理求得BE的長，根據(jù)勾股定理求得圓的半徑和BC的長，即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OB．
∵CD是直徑，
∴∠CBD=90°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D，
又∠CBF=∠D，
∴∠CBF=∠OBD，
∴∠CBF+∠OBC=∠OBD+∠OBC，
∴∠OBF=∠CBD=90°，即OB⊥BF，
∴FB是圓的切線；

（2）解：∵CD是圓的直徑，CD⊥AB，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=4，
設(shè)圓的半徑是R，
在直角△OEB中，根據(jù)勾股定理得：R²=（R-2）²+4²，
解得：R=5，
在R_t△BEC中，BC=$\sqrt{B{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在R_t△DBC中，sin∠BDC=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，三角函數(shù)，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．