Question

正整數(shù)x、y、z滿足x≤y≤z，

1

yz

+ 

1

zx

+

1

xy

=

1

5

，這樣的數(shù)組（x，y，z）有

 

組．

Answer 1

分析：根據(jù)題意：x≤y≤z，

1

yz

+ 

1

zx

+

1

xy

=

1

5

，把等式轉(zhuǎn)化成

1

z

（x+y）=

1

5

xy-1，觀察等式可知xy≥10，x、y、z不能同時相等，然后討論x=1、2…，y和z的存在情況，于是求出滿足條件的數(shù)組（x，y，z）．

解答：解：根據(jù)題意：x≤y≤z，

1

yz

+ 

1

zx

+

1

xy

=

1

5

，
可知

1

z

（

1

x

+

1

y

）=（

1

5

-

1

xy

），
化簡可得

1

z

（

x+y

xy

）=

xy-5

5xy

，
又知xy＞0，
所以

1

z

（x+y）=

1

5

xy-1，
xy≥10，
則可知x、y、z不能同時相等，
當(dāng)x=1，y=15，解得z=8，不符合題意，
當(dāng)x=1，y=25，解得z不是整數(shù)，不符合題意，
當(dāng)x=1時，沒有滿足條件的y和z，
當(dāng)x=2，y=5，解得z=7，滿足題意，
當(dāng)x=3，y=5，解得z=4，不符合題意，
當(dāng)x=4，y=5解得z=3，不符合題意，
當(dāng)x=5，y=5，z不是整數(shù)，
當(dāng)z=6，y=10，z沒有整數(shù)，
當(dāng)z=7時，y=10，z沒有整數(shù)，
依次推理，當(dāng)x＞7時，沒有滿足條件的y和z的整數(shù)值，
故滿足條件的x=2、y=5、z=7，
即這樣的數(shù)組（x，y，z）有1組．
故答案為1．

點評：本題主要考查非一次不定方程的知識點，解答本題的關(guān)鍵是把

1

yz

+

1

zx

+

1

xy

=

1

5

轉(zhuǎn)化成

1

z

（x+y）=

1

5

xy-1的形式后討論并進行解答，此題難度一般．