Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點．

(1)求拋物線的解析式和頂點M的坐標，并在給定的直角坐標系中畫出這條拋物線．

(2)若點(x₀，y₀)在拋物線上，且0≤x₀≤4，試寫出y₀的取值范圍．

(3)設平行于y軸的直線x＝t交線段BM于點P(點P能與點M重合，不能與點B重合)交x軸于點Q，四邊形AQPC的面積為S．

①求S關于t的函數(shù)關系式以及自變量t的取值范圍；

②求S取得最大值時點P的坐標；

③設四邊形OBMC的面積為，試判斷是否存在點P，使得S＝，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依題意，得方程組 　　解得a＝－1，b＝2，c＝3． 　　∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3，頂點坐標為M(1，4)；圖象略． 　　(2)利用圖象可得，在0≤x0≤4的范圍內， 　　當x0＝4時，y0最小＝－5；當x0＝1時，y0最大＝4∴－5≤y0≤4． 　　(3)①S四邊形AQPC＝S△AOC＋S梯形OQPC 　　S△AOC＝＝＝ 　　∵點B、M坐標分別為B(3，0)，M(1，4) 　　∴可求得線段BM所在直線解析式為y＝－2x＋6 　　∴當x＝t，y＝－2t＋6 　　∴點P、Q坐標分別為P(t，－2t＋6)，Q(t，0) 　　∴S梯形OQPC＝＝＝－t2＋t 　　S四邊形AQPC＝－t2＋t＋ 　　∵點P能與點M重合，不能與點B重合∴1≤t＜3 　　∴S＝－t2＋t＋，1≤t＜3； 　�、诋�t＝時，S取得最大值，此時點P坐標為(，)； 　�、圻^點M作MN⊥x軸，垂足為點N． 　　∴S/＝S△BMN＋S梯形OCMN 　　＝＋＝＋＝ 　　若S＝，則－t2＋t＋＝即2t2－9t＋12＝0 　　∵Δ＝81－96＜0，方程無實數(shù)解 　　∴不存在點P，使得S＝．