Question

15．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓，AB=CD，BC∥AD，且AB=1，BC=2，則OA為$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意利用勾股定理表示出BE，OG的長(zhǎng)，進(jìn)而結(jié)合一元二次方程的解法得出即可．

解答 解：分別過(guò)點(diǎn)B、點(diǎn)C作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，再過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，連接OB，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，AB=1，BC=2，
則BE=OG=CF，BG=GC=EO=OF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$BC=1，AB=CD=1，
設(shè)OA=OD=OB=x，
則AE=x-1，
所以BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，
又因?yàn)镺G=$\sqrt{O{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
又因?yàn)镺G=BE，
所以$\sqrt{2x-{x}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
所以2x-x²=x²-1，
則2x²-2x-1=0，
解得：x=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$（舍去），
即OA=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了勾股定理以及垂徑定理和一元二次方程的解法，表示出BE，GO的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．