Question

10．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=30°，點(diǎn)D在AB上由點(diǎn)A開始向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長線于點(diǎn)F．
（1）如果CD⊥AB，求證：EF為⊙O的切線；
（2）求證：CE=CF；
（3）如果點(diǎn)F恰好落在弧BC上，請?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，探究并證明此時(shí)EF與AB的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）連接OC，先證明△AOC是等邊三角形，得出∠OCA=60°，再求出∠OCD=∠DCA=30°，由軸對稱的性質(zhì)得出∠ECA=∠DCA=30°，求出∠ECO=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由軸對稱的性質(zhì)得出CE=CD，再求出∠CDF=∠F，得出CD=CF，即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)F恰好落在$\widehat{BC}$上時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，由（2）得CE=OC，CF=OC，得出EF=2OC=AB，△OCF是等邊三角形，得出∠F=∠COF=60°，再求出∠BOF=60°，得出∠F=∠BOF，即可得出EF∥AB．

解答 （1）證明：連接OC，如圖2所示：
∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠OCA=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠OCD=∠DCA=30°，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，
∴CD=CE，
∴∠ECA=∠DCA=30°，
∴∠ECO=60°+30°=90°，
∴EF為⊙O的切線；
（2）證明：∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，
∴CE=CD，
∴∠ECA=∠DCA，
又∵DF⊥DE，
∴∠CDF=90°-∠CDE=90°-∠E=∠F，
∴CD=CF，
∴CE=CF；
（3）解：如圖3所示：EF=AB，EF∥AB；理由如下：
當(dāng)點(diǎn)F恰好落在$\widehat{BC}$上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，
由（2）得CE=OC，CF=OC，
∴EF=2OC=AB，△OCF是等邊三角形，
∴∠F=∠COF=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOF=60°，
∴∠F=∠BOF，
∴EF∥AB．

點(diǎn)評 本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識，本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要畫出圖形，得出點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，證明三角形是等邊三角形才能得出結(jié)果．