Question

1．如圖，二次函數(shù)y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4的圖象與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，若點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿線段AC，AB運動，其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動．
（1）求點A，B，C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點Q運動到B點時，點P停止運動，這時x軸上是否存在點D，使得以A，P，D為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出D點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上F點處，請斷定此四邊形APFQ的形狀，并求出此時點F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數(shù)y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4，由y=0時，解方程-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4=0，得出x的值即可得出A、B的橫坐標(biāo)；由x=0時，得出y=4，即可得出C的坐標(biāo)；
（2）存在；先由勾股定理求出AC，當(dāng)點Q運動到B點時，AP=AQ=AB=4；分三種情況：
①當(dāng)AD=AP=4時，D與B重合，容易得出點D坐標(biāo)；
②當(dāng) DP=AP=4時，作PE⊥AD于E，則AD=2AE，PE∥OC，得出△PAE∽△CAO，得出比例式$\frac{AE}{OA}=\frac{AP}{AC}$，求出AE，得出AD、OD，即可得出點D的坐標(biāo)；
③當(dāng)DA=DP時，D在AP的垂直平分線上，得出AF=$\frac{1}{2}$AP=2，證明△AFD∽△AOC，得出比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{OA}$，求出AD，得出OD，即可得出點D的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意得出AP=AQ=FG=PF=t，即可證出四邊形APFQ是菱形；作PN⊥x軸于N，則PN∥OC，由平行線得出比例式$\frac{PN}{OC}=\frac{AP}{AC，}$，得出PN=$\frac{4}{5}$t，同理：PM=3-$\frac{3}{5}$t，得出MF=$\frac{8}{5}$t-3，把點F的坐標(biāo)代入拋物線解析式得出方程，解方程求出t的值，再求出點F的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）對于二次函數(shù)y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4，當(dāng)y=0時，-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4=0，
解得：x=-3，或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0）；
當(dāng)x=0時，y=4，
∴C（0，4）；
（2）存在；
∵OA=3，OC=4，OB=1，
∴AC=$\sqrt{3+{4}^{2}}$=5，AB=3+1=4；
當(dāng)點Q運動到B點時，AP=AQ=AB=4；
①當(dāng)AD=AP=4時，D與B重合，
∴點D坐標(biāo)為：（1，0）；
②當(dāng) DP=AP=4時，作PE⊥AD于E，如圖1所示：
則AD=2AE，PE∥OC，
∴△PAE∽△CAO，
∴$\frac{AE}{OA}=\frac{AP}{AC}$，即$\frac{AE}{3}=\frac{4}{5}$，
∴AE=$\frac{12}{5}$，
∴AD=$\frac{24}{5}$，
∴OD=$\frac{24}{5}$-3=$\frac{9}{5}$，
∴點D的坐標(biāo)為：（$\frac{9}{5}$，0）；
③當(dāng)DA=DP時，D在AP的垂直平分線上，如圖2所示：
∴AF=$\frac{1}{2}$AP=2，
∵∠AFD=∠AOC=90°，∠FAD=∠OAC，
∴△AFD∽△AOC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{OA}$，即$\frac{AD}{5}=\frac{2}{3}$，
∴AD=$\frac{10}{3}$，
∴OD=$\frac{10}{3}$-3=$\frac{1}{3}$，
∴點D的坐標(biāo)為：（$\frac{1}{3}$，0）；
綜上所述：點D的坐標(biāo)為：（1，0），或（$\frac{9}{5}$，0），或（$\frac{1}{3}$，0）；
（3）四邊形APFQ是菱形；理由如下：如圖3所示：
根據(jù)題意得：PF=PA，F(xiàn)Q=AQ，∠APQ=∠FPQ，
又∵AP=AQ=t，
∴AP=AQ=FG=PF=t，
∴四邊形APFQ是菱形；
∴PF∥AQ，作PN⊥x軸于N，則PN∥OC，
∴$\frac{PN}{OC}=\frac{AP}{AC}$，即$\frac{PN}{4}=\frac{t}{5}$，
∴PN=$\frac{4}{5}$t，同理可得：PM=3-$\frac{3}{5}$t，
∴MF=t-（3-$\frac{3}{5}$t）=$\frac{8}{5}$t-3，
∴F（$\frac{8}{5}$t-3，$\frac{4}{5}$t），
代入拋物線解析式得：-$\frac{4}{3}$（（$\frac{8}{5}$t-3）²-$\frac{8}{3}$（$\frac{8}{5}$t-3）+4=$\frac{4}{5}$t，
解得：t=$\frac{145}{64}$，
∴$\frac{8}{5}$t-3=$\frac{5}{8}$，$\frac{4}{5}$t=$\frac{29}{16}$，
∴點F的坐標(biāo)為：（$\frac{5}{8}$，$\frac{29}{16}$）．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)的運用、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）（3）中，需要通過作輔助線進(jìn)行分類討論和證明三角形相似才能得出結(jié)果．