Question

13．等腰直角△ABC與等腰直角△CDE如圖放置，∠ACB=90°，CA=CB，∠CED=90°，EC=ED，點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，連接EG且延長交BC于H，連接CG且延長AB于F，連接EF．
（1）求證：HC=AE．
（2）求證：EF∥HC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)ASA證明△BGH≌△DGE，則BH=ED，又EC=ED，可知BH=ED，根據(jù)BC=AC，可證明結(jié)論；
（2）先證明△BGF≌△DGC，得到GF=GC，再證明△FGE≌△CGH，得出∠EFG=∠HCG，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠ACB=90°，∠CED=90°，
∴ED∥BH，∠CBD=∠BDE．
在△BGH和△DGE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠BDE}\\{BG=GD}\\{∠DGE=∠BGH}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△DGE，
∴BH=ED，
∵EC=ED，
∴BH=EC，
∵BC=AC，
∴HC=AE；

（2）∵∠A=∠ACD=45°，
∴AB∥CD，∠ABD=∠BDC．
在△BGF和△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠BDC}\\{BG=DG}\\{∠BGF=∠DGE}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△DGC，
∴GF=GC．
∵△BGH≌△DGE，
∴GE=GH．
在△FGE和△CGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{GF=GC}\\{∠FGE=∠CGH}\\{GE=GH}\end{array}\right.$，
∴△FGE≌△CGH，
∴∠EFG=∠HCG，
∴EF∥HC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練的掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．