Question

9．如圖，△ABC和△AED是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點D、E在∠BAC的外部，連結(jié)DC、BE．
（1）求證：BE=CD；
（2）若將△AED繞點A旋轉(zhuǎn)，直線CD交直線AB于點G，交直線BE于點K．若AC=8，GA=2，試求GC•KG的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠BAC=∠EAD=90°，得出∠CAD=∠BAE，在△BAE和△CAD中，根據(jù)SAS得出△BAE≌△CAD，即可證出BE=CD；
（2）當點G在線段AB上時，根據(jù)（1）和AA得出△CGA∽△BGK，求出AG•GB=GC•KG，再根據(jù)AC=8，GA=2，得出GC•KG=12；當點G在線段AB延長線上時，再根據(jù)已知條件求出△CGA∽△BGK，得出AG•GB=GC•KG，再根據(jù)AC=8，GA=2，得出GC•KG=20；

解答 解：（1）∵∠BAC=∠EAD=90°
∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，
∴∠CAD=∠BAE，
在△BAE和△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD；

（2）當點G在線段AB上時（如圖1）
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠CGA=∠BGK，
∴△CGA∽△BGK，
∴$\frac{AG}{KG}$=$\frac{GC}{GB}$，
∴AG•GB=GC•KG，
∵AC=8，
∴AB=8，
∵GA=2，
∴GB=6．
∴GC•KG=12，
當點G在線段AB延長線上時（如圖2）
∵△BAE≌△CAD
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠BGK=∠CGA，
∴△CGA∽△BGK，
∴$\frac{AG}{KG}$=$\frac{CG}{GB}$，
∴AG•GB=GC•KG；
∵AC=8，
∴AB=8，
∵GA=2，
∴GB=10
∴GC•KG=20．

點評 此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能畫出圖形．