Question

【題目】如圖，⊙O中，AB為直徑，點P為⊙O外一點，且PA＝AB，PA、PB交⊙O于D、E兩點，∠PAB為銳角，連接DE、OD、OE．

（1）求證：∠EDO＝∠EBO；

（2）填空：若AB＝8，

①△AOD的最大面積為　 　；

②當DE＝　 　時，四邊形OBED為菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8；4.

【解析】

（1）如圖1，連AE，由等腰三角形的性質可知E為PB中點，則OE是△PAB的中位線，OE∥PA，可證得∠DOE＝∠EOB，則∠EDO＝∠EBO可證；

（2）如圖2，由條件知OA＝4，當OA邊上的高最大時，△AOD的面積最大，可知點D是的中點時滿足題意，此時最大面積為8；

（3）如圖3，當DE＝4時，四邊形ODEB是菱形．只要證明△ODE是等邊三角形即可解決問題．

證明：（1）如圖1，連AE，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB＝90°，

∵PA＝AB，

∴E為PB的中點，

∵AO＝OB，

∴OE∥PA，

∴∠ADO＝∠DOE，∠A＝∠EOB

∵OD＝OA，

∴∠A＝∠ADO，

∴∠EOB＝∠DOE，

∵OD＝OE＝OB，

∴∠EDO＝∠EBO；

（2）①∵AB＝8，

∴OA＝4，

當OA邊上的高最大時，△AOD的面積最大（如圖2），此時點D是的中點，

∴OD⊥AB，

∴；

②如圖3，當DE＝4時，四邊形OBED為菱形，理由如下：

∵OD＝DE＝OE＝4，

∴△ODE是等邊三角形，

∴∠EDO＝60°，

由（1）知∠EBO＝∠EDO＝60°，

∴OB＝BE＝OE，

∴四邊形OBED為菱形，

故答案為：8；4．