Question

3．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=2，小球P從點(diǎn)E出發(fā)沿直線(xiàn)向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球P第一次碰到點(diǎn)E時(shí)，小球P所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)為12$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為$\frac{1}{2}$，通過(guò)相似三角形，來(lái)確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)．再由勾股定理就可以求出小球經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度．

解答 解：根據(jù)已知中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為$\frac{1}{2}$，第一次碰撞點(diǎn)為F，在反射的過(guò)程中，根據(jù)入射角等于反射角及平行關(guān)系的三角形的相似可得第二次碰撞點(diǎn)為G，在DA上，且DG=$\frac{1}{6}$DA，第三次碰撞點(diǎn)為H，在DC上，且DH=$\frac{1}{3}$DC，第四次碰撞點(diǎn)為M，在CB上，且CM=$\frac{1}{3}$BC，第五次碰撞點(diǎn)為N，在DA上，且AN=$\frac{1}{6}$AD，第六次回到E點(diǎn)，AE=$\frac{1}{3}$AB．
由勾股定理可以得出EF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，F(xiàn)G=3$\sqrt{5}$，GH=$\sqrt{5}$，HM=2$\sqrt{5}$，MN=3$\sqrt{5}$，NE=$\sqrt{5}$，
故小球經(jīng)過(guò)的路程為：2$\sqrt{5}$+3$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$+2$\sqrt{5}$+3$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=12$\sqrt{5}$，
故答案為：12$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反射原理，以及正方形的性質(zhì)．通過(guò)相似三角形的性質(zhì)來(lái)確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)，由勾股定理來(lái)確定小球經(jīng)過(guò)的路程，是一道數(shù)學(xué)物理學(xué)科綜合試題，難度較大．