Question

如圖 
（1）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)a度得到四邊形OA′B′C′，此時直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于點P、Q．
（1）四邊形OABC的形狀是

矩形

，當(dāng)a=90°時，

BP

BQ

的值是

4

7

．
（2）①如圖（2），當(dāng)四邊形OA′B′C′繞點O旋轉(zhuǎn)時△POQ的面積為

45

2

時，求

BP

BQ

的值；
②如圖（3），當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時，求△OPB′的面積．
（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)0＜a≤180°時，是否存在這樣的點P和點Q，使BP=

1

2

BQ？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形即可得出四邊形OABC是矩形，當(dāng)α=90°時，可知

BP

PQ

=

4

3

，根據(jù)比例的性質(zhì)得出

BP

BQ

=

4

7

；
（2）①連接利用三角形的面積公式求出PQ的長，所以PC+CQ=

15

2

，又因為BP+PC=BC=8，BP-CQ=

1

2

，進而求出BP的值，從而BQ可求，所以

BP

BQ

=

3

21 2

=

3

7

；②根據(jù)勾股定理求得PB′的長，再根據(jù)三角形的面積公式進行計算；
（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)0＜a≤180°時，存在這樣的點P和點Q，使BP=

1

2

BQ．構(gòu)造全等三角形和直角三角形，運用勾股定理求得PC的長，進一步求得坐標．

解答：解：（1）∵O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），
∴OA=BC=8，OC=AB=6，∠AOA′=90°，
∴四邊形OABC的形狀是矩形；
當(dāng)α=90°時，P與C重合，如右圖1，
根據(jù)題意，得

BP

PQ

=

4

3

，則

BP

BQ

=

4

7

；

（2）①連接OQ，如圖2，
∵S△POQ=

1

2

PQ•OC=

45

2

，OC=6，
∴PQ=

15

2

，
∴PC+CQ=

15

2

，
∵BP+PC=BC=8，
∴BP-CQ=

1

2

，
∴BP=3，CQ=

5

2

，
∴BQ=3+

15

2

=

21

2

，
∴

BP

BQ

=

3

21 2

=

3

7

；
②如圖3，
∵在△OCP和△B′A′P中，

∠OPC=∠B′PA′ ∠OCP=∠A′=90° OC=B′A′

，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．設(shè)B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=

25

4

，
∴S_△OPB′=

1

2

×

25

4

×6=

75

4

；

（3）存在這樣的點P和點Q，使BP=

1

2

BQ．
理由如下：過點Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=

1

2

PQ•OC，S_△POQ=

1

2

OP•QH，
∴PQ=OP．
設(shè)BP=x，∵BP=

1

2

BQ，
∴BQ=2x，
如圖4，當(dāng)點P在點B左側(cè)時，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得x1=1+

3 6

2

，x2=1-

3 6

2

，（不符實際，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+

3 6

2

，
∴P₁（-9-

3 6

2

，6），
如圖5，當(dāng)點P在點B右側(cè)時，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，解得x=

25

4

，
∴PC=BC-BP=8-

25

4

=

7

4

，
∴P₂（-

7

4

，6），
綜上可知，存在點P₁（-9-

3 6

2

，6），P₂（-

7

4

，6）使BP=

1

2

BQ．
故答案為：矩形；

4

7

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對應(yīng)線段相等，能夠用一個未知數(shù)表示同一個直角三角形的未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．