Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l₁過(guò)點(diǎn)A（1，0）且與y軸平行，直線l₂過(guò)點(diǎn)B（0，2）且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于點(diǎn)P．點(diǎn)E為直線l₂上一動(dòng)點(diǎn)，反比例函數(shù)（k＞0）的圖象過(guò)點(diǎn)E與直線l₁相交于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求k的值；
（2）連接OE、OF、EF．請(qǐng)將△OEF的面積用k表示出來(lái)；
（3）是否存在點(diǎn)E使△OEF 的面積為△PEF面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意知，P（1，2）．若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，則k=xy=1×2=2；

（2）①當(dāng)0＜k＜2時(shí)，如圖1所示．
根據(jù)題意知，四邊形OAPB是矩形，且BP=1，AP=2．
∵點(diǎn)E、F都在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，
∴E（，2），F(xiàn)（1，k）．則BE=，PE=1-，AF=k，PF=2-k，
∴S_△OEF=S_矩形OAPB-S_△OBE-S_△PEF-S_△OAF
=1×2-××2-×（1-）×（2-k）-×1×k
=-k²+1；
②當(dāng)k=2時(shí)，由（1）知，△OEF不存在；
③當(dāng)k＞2時(shí)，如圖2所示．點(diǎn)E、F分別在P點(diǎn)的右側(cè)和上方，過(guò)E作x軸的垂線EC，垂足為C，過(guò)F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點(diǎn)G，則四邊形OCGD為矩形．
∵PF⊥PE，
∴S_△FPE=PE•PF=（-1）（k-2）=k²-k+1，
∴四邊形PFGE是矩形，
∴S_△PFE=S_△GEF，
∴S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△GEF-S_△OCE
=•k--（k²-k+1）-=k²-1；

（3）當(dāng)k＞0時(shí)，存在點(diǎn)E使△OEF 的面積為△PEF面積的2倍．理由如下：
①如圖1所示，當(dāng)0＜k＜2時(shí)，S_△PEF=-×（1-）×（2-k）=-，
S_△OEF=-k²+1，
則-×2=-k²+1，
解得，k=2（舍去），或k=6（舍去）；
②由（1）知，k=2時(shí)，△OEF與△PEF不存在；
③如圖2所示，當(dāng)k＞2時(shí)，S_△PEF=-k²+k-1，S_△OEF=k²-1，
則2（-k²+k-1）=k²-1，
解得k=6或k=2（不合題意，舍去），
則k=6，
則E點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2）．
分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy進(jìn)行解答即可；
（2）需要分類討論：分當(dāng)0＜k＜2，k=2，k＞2時(shí)三種情況來(lái)求△OEF的面積；
（3）根據(jù)（2）中的△PEF與△OEF的面積來(lái)求k的值，從而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，再由直角三角形的面積公式和“分割法”來(lái)求△OEF的面積．