Question

1．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBF，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BF，垂足為D．
（1）求證：AD為⊙O的切線(xiàn)；
（2）若BD=1，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）要證AD是⊙O的切線(xiàn)，連接OA，只證∠DAO=90°即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求出AD，從而根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)即可得出⊙O的直徑．

解答 （1）證明：連接OA；
∵BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，
∴DA為⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：∵BD=1，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠DBA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∵∠DBA=∠CBA，
∴BC=$\frac{AB}{cos∠CBA}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=5．
∴⊙O的直徑為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的判定．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了三角函數(shù)的知識(shí)．