Question

如圖，已知AB=3，BC=7，CD=.且AB⊥BC，∠BCD=135°。點M是線段BC上的一個動點，連接AM、DM。

①點M在運動過程中，當AM+DM的值最小時，BM=        ；

②當 AM²+DM²的值最小時，BM=        。

 

Answer 1

【答案】

、6

【解析】

試題分析：（1）延長AB到E，使BE=AB，連接ED交BC于M，連接AM，則此時AM+DM的值最小，過D作DF⊥BC交BC延長線于F，求出DF，根據相似求出BM即可；

（2）根據勾股定理得出AM²=AB²+BM²=3²+x²，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，相加即可求出答案．

（1）延長AB到E，使BE=AB，連接ED交BC于M，連接AM，則此時AM+DM的值最小，過D作DF⊥BC交BC延長線于F，

∵∠BCD=135°，

∴∠DCF=45°，

∵CD=，

則CF=CD×cos45°=5，

DF=CF=5，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，

∴△BEM∽△FDM，

∴

∴，解得，

（2）設BM=x，

在Rt△ABM中，AM²=AB²+BM²=3²+x²，

∵在Rt△DFM中，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，

∴AM²+DM²=9+x²+25+（12-x）²=2x²-24x+178=2（x-6）²+106，

∵2＞0，

∴AM²+DM²有最小值，當x=6時，最小值是106，

考點：軸對稱-最短路線問題，勾股定理，二次函數的最值，相似三角形的性質和判定

點評：相似三角形的判定和性質是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.