Question

8．如圖，O為原點，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OA的端點A，作AB⊥x軸于點B，點A的坐標(biāo)為（2，3）．
（1）反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$（x＞0）；
（2）將線段AB沿x軸正方向平移到線段DC的位置，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過DC的中點E，
①求直線AE的函數(shù)表達(dá)式；
②若直線AE與x軸交于點M，與y軸交于點N，請你寫出線段AN與線段ME的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出k值，從而得出反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)點E為CD的中點，可找出點E的縱坐標(biāo)，結(jié)合點E在反比例函數(shù)圖象上即可求出點E的坐標(biāo)，再由點A、E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AE的函數(shù)表達(dá)式；
（3）AN=ME，根據(jù)直線AE的函數(shù)表達(dá)式可求出點M的坐標(biāo)，結(jié)合點A、E的坐標(biāo)可得出點B、C的坐標(biāo)，由此即可得知：點B、C為線段OM的三等分點，再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出點A、E為線段MN的三等分點，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點A（2，3）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$（x＞0）．
故答案為：y=$\frac{6}{x}$（x＞0）．
（2）∵AB=CD，點E為線段CD的中點，
∴點E的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，
將y=$\frac{3}{2}$代入y=$\frac{6}{x}$中，則有$\frac{3}{2}$=$\frac{6}{x}$，
解得：x=4，
∴點E的坐標(biāo)為（4，$\frac{3}{2}$）．
設(shè)直線AE的表達(dá)式為y=mx+n，
將點A（2，3）、E（4，$\frac{3}{2}$）代入y=mx+n中得：$\left\{\begin{array}{l}{3=2m+n}\\{\frac{3}{2}=4m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AE的表達(dá)式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$．
（3）AN=ME，利用如下：
令y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$中y=0，則0=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$，
解得：x=6，
∴點M的坐標(biāo)為（6，0）．
∵點A（2，3）、E（4，$\frac{3}{2}$），
∴點B（2，0），點C（4，0），
∴點B、C為線段OM的三等分點，
∵AB∥CD（平移的性質(zhì)），
∴點A、E為線段MN的三等分點，
∴AN=ME．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出k值；（2）求出點E的坐標(biāo)；（3）找出點A、E為線段MN的三等分點，本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．