Question

18．已知如圖，在△ABC中，∠B=2∠C．
（1）求作：①△ABC的角平分線AD，②線段CD的垂直平分線MN，MN分別交AC、BC于點M、N；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求證：BD=CM．

Answer 1

分析 （1）利用基本作圖（作已知角的平分線和線段的垂直平分線）作AD平分∠BAC，作MN垂直平分CD；
（2）先利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到MD=MC，再根據(jù)等腰三角形的判定得到∠MDC=∠C，接著證明∠B=∠AMD，然后證明△ABD≌△AMD，從而得到BD=MD，所以BD=CM．

解答 （1）解：如圖，AD和MN為所作；

（2）證明：∵M(jìn)N垂直平分CD，
∴MD=MC，
∴∠MDC=∠C，
∴∠AMD=∠MDC+∠C=2∠C，
而∠B=2∠C，
∴∠B=∠AMD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠MAD，
在△ABD和△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠AMD}\\{∠BAD=∠MAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AMD，
∴BD=MD，
∴BD=CM．

點評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．