Question

如圖1，已知四邊形OABC中的三個頂點坐標為O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．動點P從點O出發(fā)依次沿線段OA，AB，BC向點C移動，設移動路程為z，△OPC的面積S隨著z的變化而變化的圖象如圖2所示．m，n是常數，m＞1，n＞0．

(1)請你確定n的值和點B的坐標；

(2)當動點P是經過點O，C的拋物線y＝ax²＋bx＋c的頂點，且在雙曲線y＝上時，求這時四邊形OABC的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)從圖中可知，當P從O向A運動時，△POC的面積S＝mz，z由0逐步增大到2，則S由0逐步增大到m，故OA＝2，n＝2　　(1分) 　　同理，AB＝1，故點B的坐標是(1，2)　　(2分) 　　(2)解法一： 　　∵拋物線y＝ax＋bx＋c經過點O(0，0)，C(m，0)，∴c＝0，b＝－am，(3分) 　　∴拋物線為y＝ax－amx，頂點坐標為(，－am2)　　(4分) 　　如圖1，設經過點O，C，P的拋物線為l 　　當P在OA上運動時，O，P都在y軸上，這時P，O，C三點不可能同在一條拋物線上， 　　∴這時拋物線l不存在，故不存在m的值　�、� 　　當點P與C重合時，雙曲線y＝不可能經過P， 　　故也不存在m的值　�、凇　�(5分) 　　(說明：①②任做對一處評1分，兩處全對也只評一分) 　　當P在AB上運動時，即當0＜x≤1時，y＝2， 　　拋物線l的頂點為P(，2)． 　　∵P在雙曲線y＝上，可得m＝，∵＞2，與x＝≤1不合，舍去．(6分)　　③ 　　容易求得直線BC的解析式是：，(7分) 　　當P在BC上運動，設P的坐標為(x，y)，當P是頂點時x＝， 　　故得y＝＝，頂點P為(，)， 　　∵1＜x＝＜m，∴m＞2，又∵P在雙曲線y＝上， 　　于是，×＝，化簡后得5m－22m＋22＝0， 　　解得，，(8分) 　　 　　與題意2＜x＝＜m不合，舍去．④　　(9分) 　　故由①②③④，滿足條件的只有一個值：． 　　這時四邊形OABC的面積＝＝　　(10分) 　　(2)解法二： 　　∵拋物線y＝ax＋bx＋c經過點O(0，0)，C(m，0) 　　∴c＝0，b＝－am，(3分) 　　∴拋物線為y＝ax－amx，頂點坐標P為(，－am2)　　(4分) 　　∵m＞1，∴＞0，且≠m， 　　∴P不在邊OA上且不與C重合　　(5分) 　　∵P在雙曲線y＝上，∴×(－am2)＝即a＝－ 　�、佼�1＜m≤2時，＜≤1，如圖2，分別過B，P作x軸的垂線， 　　M，N為垂足，此時點P在線段AB上，且縱坐標為2， 　　∴－am2＝2，即a＝－ 　　而a＝－，∴－＝－，m＝＞2，而1＜m≤2，不合題意，舍去　　(6分) 　　②當m≥2時，＞1，如圖3，分別過B，P作x軸的垂線，M，N為垂足，ON＞OM， 　　此時點P在線段CB上，易證Rt△BMC∽Rt△PNC， 　　∴BM∶PN＝MC∶NC，即：2∶PN＝(m－1)∶，∴PN＝　　(7分) 　　而P的縱坐標為－am2，∴＝－am2，即a＝ 　　而a＝－，∴－＝ 　　化簡得：5m2－22m＋22＝0解得：m＝，(8分) 　　但m≥2，所以m＝舍去，(9分) 　　取m＝ 　　由以上，這時四邊形OABC的面積為： 　　(AB＋OC)×OA＝(1＋m)×2＝　　(10分)