Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發(fā)，分別沿CA，CB向終點A，B移動，點M的速度是每秒1cm，同時動點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動．設移動時間為t（0＜t＜2.5）秒，當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形可能與△BPN相似？此時點N的速度時多少？

Answer 1

分析 分兩種情況：①∠APM=∠B時，得出PM∥BC，得出比例式，解方程即可；②∠B=∠PMA時，求出∠APM=90°，由三角函數cosA得出方程，解方程求出t=$\frac{3}{2}$當PN⊥BC時，△APM∽△PNB，此時BP=2t=3，由三角函數求出BN，得出CN，即可求出N的速度．

解答 解：①∠APM=∠B時，如圖1所示：
則PM∥BC，
∴$\frac{5-2t}{5}=\frac{4-t}{4}$，
解得：t=0（不合題意）；
②∠B=∠PMA時，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠A+∠PMA=90°，
∴∠APM=90°，
由cosA=$\frac{4}{5}$=$\frac{5-t}{4-t}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$；
當PN⊥BC時，△APM∽△PNB，
此時BP=2t=3，BN=BP•cosB=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴CN=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴N的速度v=$\frac{6}{5}$÷$\frac{3}{2}$=$\frac{4}{5}$；
PN⊥AB時，此時BP=3，BN=$\frac{3}{\frac{3}{5}}$=5＞BC，
∴不存在．
綜上所述：當t=$\frac{3}{2}$s時，以A，P，M為頂點的三角形與△BPN相似，此時點N的速度是$\frac{4}{5}$cm/s．

點評 本題考查了相似三角形的判定的判定與性質、三角函數；由相似三角形得出比例式是解決問題的關鍵．