Question

已知，如圖，點(diǎn)C在線段AB上，在AB的同旁作等邊△ADC和等邊△BCE，連接AE、BD交CD、CE于M、N，
（1）求證：AE=BD；
（2）求證：△CMN為等邊三角形；
（3）如果把△BEC繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，上述結(jié)論中哪些成立？試說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）證明：
∵等邊△ADC和△BCE，
∴AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD。
（2）證明：∵△ACE≌△DCB，
∴∠DBC=∠AEC，
∵∠DCE=180°﹣∠ACD﹣∠BCE=60°=∠BCE，
在△EMC和△BNC中，
∴△EMC≌△BNC，
∴CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等邊三角形。
（3）結(jié)論（1）成立，理由是：
不論旋轉(zhuǎn)多少度，AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，推出∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD。