Question

如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足為點O，過點A作射線AE∥BC，點P是邊BC上任意一點，連接PO并延長與射線AE相交于點Q，設B，P兩點之間的距離為x，過點Q作直線BC的垂線，垂足為R．岑岑同學思考后給出了下面五條結論，
①△AOB≌△COB；
②當0＜x＜10時，△AOQ≌△COP；
③當x=5時，四邊形ABPQ是平行四邊形；
④當x=0或x=10時，都有△PQR∽△CBO；
⑤當x=

14

5

時，△PQR與△CBO一定相似．
正確的共有

 

．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：根據(jù)相似三角形的判定以及平行四邊形的判定與性質，以及全等三角形的判定方法結合圖形分別進行分析證明即可得出答案．

解答：解：①∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，
∴AO=CO，
∵BO=BO，
在△AOB和△COB中，

AB=CB AO=CO BO=BO

∴△AOB≌△COB（SSS）；
故此選項正確；
②∵AE∥BC，
∴∠AQO=∠CPO，
∵AO=CO，∠AOQ=∠COP，
在△AOQ和△COP中

∠AQO=∠CPO ∠AOQ=∠COP AO=CO

∴△AOQ≌△COP（AAS）
∴當0＜x＜10時，△AOQ≌△COP；
故此選項正確；
③當x=5時，
∴BP=PC=5，
∵AQ=PC，
∴AQ=PB=5，
∵AQ∥BC，
∴四邊形ABPQ是平行四邊形；
故此選項正確；
④如圖1，當x=0時，P與B重合，

∴∠OBC=∠QPR，
又∵∠BOC=∠PRQ=90°，
∴△PQR∽△BCO；
如圖2，當x=10時，P與C重合，此時Q與A重合，

∵∠QPR=∠BPO，∠QRP=∠BOC=90°，
∴△PQR∽△CBO，
當x=0時，△PQR∽△CBO不相符；故此選項錯誤；
⑤如圖3，

若△PQR與△CBO一定相似，
則∠QPR=∠BCO，
可得OP=OC=6，
過點O作OH⊥BC于H，
由射影定理得CO²=CH•CB，
可求得CH=3.6，
故CP=7.2，所以BP=x=10-7.2=2.8
故當x=

14

5

時，△PQR與△CBO一定相似．
故此選項正確．
故正確的有①②③⑤．
故答案為：①②③⑤．

點評：此題主要考查了四邊形綜合題，涉信相似三角形的判定以及平行四邊形的性質和全等三角形的判定等知識，解題的關鍵是靈活應用相關知識．