Question

如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q．
（1 ）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q 在線段AC 上，且AP=AQ 時(shí)，求證：△BPE ≌△CQE ；
（2 ）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q 在線段CA 的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：△BPE ∽△CEQ ；并求當(dāng)BP= ，CQ=時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離 (用含的代數(shù)式表示)．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ， ∵E是BC的中點(diǎn)， ∴BE=CE，在△BPE和△CQE中， ∵， ∴△BPE≌△CQE（SAS）； （2）解：∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ， ∴， ∵BP=a，CQ=a，BE=CE， ∴BE=CE=a， ∴BC=3a， ∴AB=AC=BCsin45°=3a， ∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a， 連接PQ， 在Rt△APQ中，PQ==a．